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La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. Gli inizi. Il La semantica tarskiana.

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Gli inizi La singolare vicenda intellettuale divenuta nota come 'Scuola di Leopoli-Varsavia' comincia nell'autunno, del quando Kazimierz Twardowski lascia Vienna, dove ha da poco conseguito la libera docenza, per andare a occupare una cattedra di filosofia a Leopoli, all'estrema periferia nord orientale dell'Impero. Allievo di Robert von Zimmermann, al quale Bernhard Bolzano aveva affidato in punto di morte i propri lavori incompiuti sui fondamenti della matematica, ma soprattutto di Franz Brentanonel suo saggio Sulla teoria del contenuto e dell'oggetto delle rappresentazioni aveva cercato, appoggiandosi a Bolzano, di sciogliere le ambiguità presenti nel concetto brentaniano di oggetto intenzionale.

Il suo stile di pensiero, a un tempo limpido e puntuale, la ricchezza dei suoi interessi, la radicale novità delle sue tematiche attirarono ben presto attorno a lui giovani di grande qualità. Attorno a loro accorsero ben presto molti giovani, i cui corsi di opzioni a twardovsky sono entrati nella storia della logica. Di queste due anime, quella vincente che raggiunse rinomanza mondiale e fu anzi per lungo tempo uno dei poli di orientamento della ricerca logica mondiale fu la seconda.

Privi, a differenza della maggior parte dei loro colleghi nel mondo, della preoccupazione istituzionale di dover dimostrare che la logica matematica serve o alla matematica o alla filosofia, i membri di quella scuola si dedicarono talvolta con passione quasi maniacale anche a obiettivi che, come quello della riduzione del numero e della configurazione degli assiomi, in particolare degli assiomi logico-proposizionali, appaiono piuttosto curiosità che non vere e proprie conoscenze.

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Cresciuto in Siberia, dove il padre, ingegnere ferroviario, lavorava alla realizzazione della transiberiana, aveva fra l'altro studiato a Monaco con Hans Cornelius.

Questi si sviluppano a partire da certi assiomi attraverso l'applicazione di regole le 'direttive' che ci indicano come, in ogni dato momento, possiamo estendere il sistema: o 'dimostrativamente', cioè attraverso l'aggiunta di un nuovo teorema una 'tesi' relativo a concetti già disponibili; o 'definitoriamente', ossia attraverso l'aggiunta di una definizione che introduce un nuovo concetto appartenente a categorie già disponibili oppure un nuovo concetto appartenente a una nuova categoria ottenibile a partire da quelle già disponibili.

La prototetica è ora la teoria delle leggi logiche che governano gli enti delle categorie ottenibili a partire dalla sola categoria delle proposizioni. La teoria delle leggi logiche che governano le entità appartenenti anche alle categorie comprendenti quella dei nomi è l'ontologia.

La mereologia, che non è proprio una teoria logica quanto piuttosto teoria generale della struttura degli oggetti che presuppone sia la prototetica sia l'ontologia, si occupa delle leggi che governano questa composizione.

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Opportuni assiomi assicureranno ora che questa relazione goda delle proprietà desiderate. La presentazione formale di questa idea richiese un lungo lavorio. Tavola I 3. Il Fra i fenomeni che hanno reso il una data fondamentale nella storia della logica vi fu, accanto alla pubblicazione dei teoremi gödeliani di completezza e compattezza della logica elementare e della sistemazione formale a opera di Arend Heyting delle idee brouweriane, l'autentico insediamento sulla scena internazionale della 'seconda anima polacca' attraverso una serie di memorabili memorie in tedesco.

Naturalmente non tutte le discipline deduttive sono presentate in modo adatto a divenire oggetto di indagine scientifica.

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Non lo sono, per esempio, quelle che non riposano su una base logica definita, che non hanno regole di inferenza precise e i cui teoremi sono formulati nei termini solitamente ambigui e corsi di opzioni a twardovsky del linguaggio colloquiale: in una parola, quelle che non sono formalizzate.

Di conseguenza le indagini metamatematiche devono limitarsi alla discussione delle discipline deduttive formalizzate.

TarskiI, p. Nella prima delle quattro memorie comparse invece nei "Comptes rendus" della Società di Scienze e Lettere di Varsavia e che costituisce una sorta di compendio del più ampio lavoro sopra citato, Tarski, con la concisione e l'eleganza che sempre contrassegnarono il suo modo di pensare e di esporre, illustra i contenuti concettuali essenziali di questa 'metodologia delle teorie deduttive' presentando i postulati e le definizioni che caratterizzarono addirittura un'epoca della logica del Novecento.

Introdusse vari altri concetti, fra i quali quelli di insieme di proposizioni indipendente e finitamente assiomatizzabile.

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Il primo esempio di sistema considerato è quello della logica proposizionale classica, caratterizzato dalla matrice binaria. Sia Chang sia Meredith mostrarono nel che il quarto assioma è superfluo. Il terzo esempio di sistemi trattati è costituito da quello che chiamano il 'calcolo proposizionale ristretto', ossia il calcolo proposizionale puramente implicativo, primo esempio sistematico di quello che con il nome di 'sistemi parziali' diverrà in seguito un vasto terreno di ricerche.

Menzione separata ma importante meritano, in questa memoria, i fitti riferimenti storici, in particolare quelli relativi alla logica degli stoici. La semantica tarskiana In quello stesso Tarski, nel contesto della problematica della 'definibilità', comincia a presentare le linee portanti di quella che diverrà poi universalmente nota come 'semantica tarskiana'.

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Dice Tarski: La diffidenza dei matematici verso il concetto di definibilità si rafforza attraverso l'opinione corrente che questo concetto stia fuori dai confini propri della matematica [ Senza dubbio il concetto di definibilità com'è solitamente concepito è di natura metamatematica.

Credo tuttavia di aver trovato un metodo che [ Questo metodo è anche applicabile a certi altri concetti di natura metamatematica.

La seconda rivoluzione scientifica: matematica e logica. La scuola di Leopoli-Varsavia

Fu questo armamentario quello che negli anni che seguirono si impose. Fu esso, fra l'altro, che rese del tutto inefficace la proposta avanzata l'anno prima da Rudolf Carnap.

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